Fraktali, foto esej

“Zašto se geometrija opisuje kao “hladna” ili “suha”? Jedan od razloga leži u njenoj nesposobnosti da opiše oblak ili planinu, obalu ili drvo. Oblaci nisu sfere, planine nisu konusi, obale nisu kružnice, kora drveta nije glatka niti svjetlost putuje sasvim po pravcu… Mnogi uzorci u prirodi su veoma nepravilni i toliko fragmentirani da, u poređenju sa Euklidskom geometrijom (termin korišten da se naglasi standardna geometrija), priroda pokazuje ne samo viši stepen kompleksnosti nego potpuno drugi nivo kompleksnosti. Broj različitih skala dužine prirodnih oblika je praktično beskonačan” (B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature)

“Imam prijatelja koji je umjetnik, koji ponekad ima stav s kojim se baš i ne slažem. Uzet će cvijet i reći: “Vidi kako je lijep!”, i ja ću se složiti. Onda on kaže: “Vidiš, ja kao umjetnik mogu vidjeti kako je lijep, ali ti kao naučnik to sve rastaviš i to postane dosadna stvar.” Mislim da je on pomalo blesav. Prvo, ljepota koju on vidi je dostupna i drugim ljudima, pa tako i meni. Iako možda nisam estetski sofisticiran kao on, i ja mogu cijeniti ljepotu cvijeta. U isto vrijeme, vidim puno više od cvijeta nego što on vidi. Mogu zamisliti stanice u njemu, složene interakcije unutar cvijeta, koje su isto tako lijepe. Hoću reći, nije samo lijep na skali od centimetra, postoji ljepota i na nižim razinama. Unutrašnja struktura i procesi, činjenica da su boje i cvijeće evoluirali kako bi privukli kukce da ih opraše je zanimljiva. To znači da kukci mogu vidjeti boje. To postavlja pitanje: Postoji li ovaj estetski osjećaj i u nižim oblicima? Što čini nešto lijepim? Svakakva zanimljiva pitanja s kojima nauka, znanje, samo dodaje na to uzbuđenje, na tu misteriju, oduševljenje cvijetom. Samo dodaje. Ne mogu shvatiti kako oduzima.” (R. Feynman)


Lichtenbergove figure nastale visoko-naponskim električnim pražnjenjem. Munja je prirodna 3D Lichtenbergova figura  (credit: Photo Researchers/Getty)

Uvod

Geometrijski oblici i uzorci koje možemo naći u prirodi su kompleksni i nepravilni, naizgled stohastični. Naučnici ih od davnina pokušavaju modelirati matematički, a u zadnje vrijeme i računarskim simulacijama.  Mnogi su kroz historiju pokušavali odgonetnuti tajne oblika i uzoraka u prirodi (Pitagora, Empedoklo, Platon, Leonardo da Vinci, Keppler, Leonardo Fibonacci,  Charles Bonnet,  D’Arcy Thompson,  Joseph Plateau, Alan Turing, Aristid Lindenmayer, Gottfried Leibniz, Georg Cantor, Helge von Koch, Wacław Sierpiński, Benoît Mandelbrot) ali nam potpuna objašnjenja još uvijek izmiču. Uzorci u prirodi modeliraju se fraktalima, teorijom haosa, simetrijama, logaritamskim spiralama, teselacijama, topologijom i drugim matematičkim alatima.

Ovi alati samo aproksimiraju uzorke u prirodi jer su realni procesi  previše kompleksni da se precizno modeliraju. Fizičar Rolf Landauer vrlo je jezgrovito izrazio potrebu da se odupre pretjeranim pokušajima univerzalnog objašnjenja za uzorke u prirodi: “Kompleksan sistem je upravo to, kompleksan sistem; postoji mnogo stvari koje se događaju istovremeno. Ako posmatrate pažljivo možete pronaći svoju omiljenu igračku: fraktale, haos, samoorganiziranu kritičnost, analogije sa faznim prelazom, Lotka-Volterra predator-plijen oscilacije i sl. Ali nemojte očekivati jednostavni alat (metodu) da biste sve to objasnili.”

U ovom eseju ograničit ću se na fraktale koji su možda i najzanimljiviji od svih pobrojanih načina modeliranja prirodnih uzoraka.

Fraktali

Priroda je puna procesa koji su naizgled rekurzivni (ponavljanje objekata na samosličan način). Možete to vizuelizirati ovako: kada otvorite jedna vrata, na tim vratima primjetićete druga manja vrata koja sadržavaju treća još manja vrata i slično. Razvoj nauke pokazao nam je da se otkrićem neke nove stvari otvaraju druga vrata koja nas uvode u drugi svijet (a nekad i u drugu vrstu realnosti – npr. kvantna mehanika), što metaforički predstavlja vrstu fraktalnosti i u otkrivanju realnosti u kojoj živimo. Postoje mišljenja da je cijeli univerzum jedna vrsta fraktala.

Fraktal je, generalno govoreći, geometrijski lik koji se može razložiti na manje dijelove tako da je svaki od njih smanjena kopija cjeline. Kaže se da je takav lik sam sebi sličan (samosličan). Termin je u upotrebu uveo Benoit Mandelbrot prije 50-tak godina (u knjizi The Fractal Geometry of Nature) i potiče od latinske reči fractus – slomljen. Osim njega, velik doprinos teoriji fraktala dali su Apolonije, Leibnitz, Weierstrass,  Kantor, Klein, Poincare, Koch, Sierpinski, Fatou, Julia, Hausdoorf, Lebesgue, Levy. Osim”izlomljenosti”, za fraktale je karakteristično da se isti oblik stalno ponavlja (rekurzija), neovisno o razlučivosti koju koristimo. Ako se mali dio fraktala uveća izgledaće kao cijeli fraktal. Matematička ljepota fraktala je što se relativno jednostavnim jednačinama može kreirati “beskonačna” kompleksnost. Fraktali se generalno mogu podijeliti na: geometrijske, algebarske i stohastične fraktale. Ta podjela izgleda ovako:

Geometrijski fraktali: na pravoj – Cantorov skup; u ravni – Cantorova prašina, Kochova kriva, trougao Sierpińskog, tepih Sierpińskog, Apolonijeva mreža, beskonačno guste krive: Peanova kriva, Hilbertova kriva, kriva Sierpińskog, zmajolika kriva; u trodimenzionalnom prostoru – Oktaedarski fraktal, Dodekaedarski fraktal, Ikosaedarski fraktal, zatim analogoni nižedimenzionalnim fraktalima: Cantorov oblak, Kochova površina, tetraedar Sierpińskog.

Algebarski fraktali: Julijin skup, Mandelbrotov skup, goreći brod.

Stohastični fraktali: Bifurkacijski dijagram, Lorenzov atraktor, Brownovo gibanje i Brownovo drvo, Perlinov šum.

Fraktalna dimenzija opisuje izlomljenost, hrapavost objekta i razlikuje se od Euklidske dimenzije. Dok Euklidska dimenzija može biti samo cijeli broj, fraktalna dimenzija obuhvata i racionalne brojeve, pa može biti npr. 1,26. Aluminijumska folija npr. je ravan i ima dimenziju 2. Ali kada je zgužvamo i od nje napravimo nešto nalik na hrapavu kuglu, udubljenu sa svih strana, ona nema dimenziju ni 2 ni 3 nego neki broj između. Matematička definicija fraktala koju je dao Mandelbrot glasi: Fraktali su skupovi tačaka čija je fraktalna dimenzija veća nego topološka dimenzija. Mandelbrotov skup (nema ekvivalent u prirodi) je vjerovatno najpoznatija slika proizišla iz matematike našeg doba i može se smatrati kulturnom ikonom vremena.

Mandelbrotov skup. James Gleick u svojoj knjizi “Haos – rađanje nove znanosti”, kaže: “Mandelbrotov skup je najsloženiji objekt u matematici. Vječnost nije dovoljna da ga se cijelog pregleda.” 

Pokazalo se  da naš svijet zapravo nije sazdan od pravilnih, euklidskih, već od naizgled nepravilnih oblika od  kojih se neki relativno dobro mogu aproksimirati fraktalnom geometrijom, i koje jednom, kad ih počnemo tražiti, možemo prepoznati posvuda – u krošnjama drveća (deblo se grana na ogranke koje se potom granaju na grančice), kristaliziranom medu, listu kupusa, karfiolu, brokuli, paprati, korijenju biljaka, snježnim pahu­ljama, strukturi krvožilnog sistema, mozgu, DNK, plućnim žilama, kristalima leda, linijama rasjeda, okeanskim talasima, prstenima Saturna, proteinima, nervnom sistemu, kostima ptica, perju pauna, turbulencijama u fluidima, pukotinama, rastu bakterija, sistemu riječnih tokova, algama, deltama rijeka, oblicima planinskih lanaca, vodopadima, munjama, oblacima, obalama mora, brownovom kretanju, pa u konačnici i u samoj strukturi univerzuma (Laniakea).

List pokazuje fraktalnu strukturu (izvor: artfido.com)

Riječni tok u pustinji u Baya California, Meksiko (izvor: artfido.com)

Kristali bizmuta (izvor: artfido.com)

Kristali leda koji stvaraju kvazi-fraktalne oblike (izvor: wikipedia)

Jedno od ključnih pitanja moderne kosmologije je da li svemir na velikim skalama ima fraktalnu strukturu. Drugim riječima – kada bismo čitav svemir nacrtali na jednom papiru (napravimo mapu svemira), da li bi on imao oblik fraktala ili bi bio gladak – homogen i izotropan.  Naučnici se slažu da svemir ima fraktalnu strukturu na malim udaljenostima – do 5 Mpc. Pitanje je da li na većim udaljenostima on postaje gladak i ako je tako, na kojoj udaljenosti je taj prelazak. To je od velikog značaja jer ukoliko se na velikim skalama otkriju fraktalne strukture, Standardni kosmološki princip da je materija raspoređena homogeno i izotropno, na koji se oslanja većina istraživanja u kosmologiji, morao bi biti izmjenjen. Istraživanja daju oprečne rezultate.

Hubble ultra deep snimak (credit: Instituto de Astrofísica de Canarias, 2019.)

Svi ovi oblici (aproksimirani fraktalima) su posljedica fizičkih zakona (i lokalnih parametara). Npr. oblik munje ili snježnih pahulja, čiji su glavni uzroci zakoni fizike i lokalno stanje atmosfere,  posljedica su činjenice da svaki nelinarni dinamički sistem pokazuje haotično ponašanje. Jedan od glavnih obilježja nelinarnih dinamičkih sistema je stepeni zakon, generalnog oblika y(x) = x^-n. A upravo se mnogi fundamentalni prirodni zakoni (npr. Keplerov III zakon, Njutnov zakon gravitacije, Kulonov zakon, Hookov zakon, Stefan-Bolcmanov zakon i sl.) mogu svesti na neku vrstu oblika stepenog zakona koji omogućava izražavanje samosličnosti (fraktalnosti) na malim i velikim skalama. To je vjerovatno jedan od razloga što neki prirodni oblici imaju približno fraktalna svojstva. Više od stotinu oblika stepenog zakona je identificirano u fizici, biologiji i socijalnim naukama.

Fraktali su praktično idealizacija beskonačne regresije, ali ništa u prirodi nije beskonačno. Fraktalna struktura koju prepoznajemo na Zemlji pokazuje rekurzivnost od tek nekoliko “nivoa” jer skale u prirodi (na Zemlji) idu od nekih 10^7 m (red veličine Zemlje) do oko 10^-12 m (red veličine atoma), tako da rekurzivnost ne može ići u beskonačnost.

Satelitska snimka Nila na potezu između asuanske brane i Abu Simbela. Očigledan je princip samosličnosti u načinu na koji su se formirali riječni rukavci. (izvor: nova-akropola.com)

Fraktalni oblici koji se prepoznaju u prirodi, uz fundamentalne zakone, posljedica su i optimizacije nekog kriterija, npr. odnosa zapremine i  dužine (korijenje biljaka), ili odnosa čvrstoće i mase (ptičje kosti). Priroda često optimizira procese, bilo kod živih organizama ili npr. kod riječnog sistema (maksimizirajući pokrivanje terena za datu dužinu rijeke), ili “nazubljenog” obalnog sistema (maksimizirajući disperziju energije okeana).

Važnu primjenu fraktali su našli u teoriji haosa, seizmologiji, biologiji, medicini, koriste se dosta u umjetnosti, kompjuterskoj grafici (npr. kod stvaranja planinskih lanaca, rastlinja), u kinematografiji (u izradi specijalnih efekata). Takođe, fraktali se koriste i u kompresiji podataka, za (ograničeno) predviđanje nekih stohastičkih procesa kao što su potresi, za oponašanje rada neuronskih mreža za razvoj umjetne inteligencije. Za male uređaje (npr. mobiteli) proizvode se antene u obliku fraktala koje zbog toga mogu koristiti širok spektar frekvencija ne zauzimajući mnogo mjesta. Uzorak za vojnu kamuflažnu odjeću nekad koristi kvazi-fraktalnu strukturu pa se teže zamjećuje u prirodi. Predviđanje vremenskih prilika dugo je bilo nemoguće. Nije bilo dovoljno ni angažovati vojsku pomagača (kompjuteri) da nam riješe sisteme jednačina. Jednačine haosa su nelinearne, ekstremno osjetljive na početne uslove, a uzrok i posljedica im nisu samjerljivi. Tek kada je u njihovo rješavanje uvedena fraktalna geometrija, na neki način smo uspjeli da uđemo u trag ponašanju haotičnih sistema. Uz pomoć fraktalne geometrije haos je postao determinisan.

 Veliki val iz Kanagawe. Katsushika Hokusai (1760.-1849.) je iskoristio princip samosličnosti kako bi što vjernije prikazao dinamiku kretanja vode. (izvor: mymodernmet.com)

Foto esej fraktalnih oblika u prirodi

U proteklom periodu dosta sam snimao prirodu, od makro snimaka pahuljica do snimaka galaksija, zvjezdanih skupova i maglina, tražeći na fotografiji povremeno i fraktalne uzorke . Uvijek me očaravala ta spona između nauke i estetike koju priroda pruža. Naravno, ono što je nama estetika prirodi je uglavnom pragmatičnost. Na slikama ispod predstavljeni su neki od snimaka koje sam izdvojio.

Fraktalna struktura u SRC Safet Zajko
Snježne pahulje pokazuju fraktalnost i simetriju (snimio: A. Ćatović)

Munja u Prijepolju.jpg
Munja predstavlja fraktalni oblik (snimio: A. Ćatović)

15958096353_8264a60216_o
Makro snimak fraktalne pahulje (snimio: A. Ćatović)

11175032_10206528789117781_621149262441509737_n
Čak se i krateri mogu smatrati fraktalnom strukturom  (A. Ćatović)

OLYMPUS DIGITAL CAMERAFraktali na Bjelašnici (snimio: A. Ćatović)

12831660173_2b87ae702a_o
Fraktalnost talasa (snimio: A. Ćatović)

19648529842_88c6efb45f_h
Fraktalna struktura lista (snimio: A. Ćatović)

19655582485_059b125543_h
Fraktalnost vodenog mlaza (snimio: A. Ćatović)

23393652223_2bd2eb862a_k
Fraktalnost brezove šume (snimio: A. Ćatović)

24309725176_d04880e27f_k
Fraktali na Čvrsnici (snimio: A. Ćatović)

28072900449_898ee544fb_k
Bjelašnički zamrznuti fraktali  (snimio: A. Ćatović)

30199775958_4dbbe8a0b5_k
Fraktalna struktura drveta u Brelima (snimio: A. Ćatović)

36651371681_c70d2a4c92_o
Fraktali i gnijezdo (snimio: I. Smajiš)

44194080121_1530538385_k
Fraktali na Vrelu Bosne (snimio: A. Ćatović)

18665634938_8c0838e3fe_k
Viuzuelni sistem muhe pokazuje fraktalnost (snimio: A. Ćatović)

Jahorina 25.11.2006, 098 (2)-2
Brezovi fraktal sa Jahorine (snimio: A. Ćatović)

16455206183_51742feafb_b
Fraktalna geometrija Gerbera (snimio: A. Ćatović)

OLYMPUS DIGITAL CAMERASmrznuti fraktali i borderka (snimio: A. Ćatović)
16877809930_f46f57aafe_b
Simetrija i fraktalnost geometrije pahulje (snimio: A. Ćatović)

16434250258_4e67199162_b
Krila muhe pokazuju fraktalne strukture (snimio: A. Ćatović)

Old dry treeFraktalna geometrija drveta (snimio: A. Ćatović)

Stream-on-mountain-Vranica
Vodopodi i ledenice pokazuju fraktalnost (snimio: A. Ćatović)


3-2Fraktalna struktura drveća i oblaka (snimio: A. Ćatović)

3
Meandriranje rijeke (snimio: A. Ćatović)

DJI_0051
“Fraktalna” šuma na Trebeviću (snimio: A. Ćatović)

IMG_0699
Fraktalna geometrija u listu, makro snimak (snimio: A. Ćatović)

Macro-flower
Makro snimak strukture unutar cvijeta (snimio: A. Ćatović)

chilll factor
Fraktalni oblici leda na biljci (snimio: A. Ćatović)

Nature-lenses
Priroda se ogleda u sebi samoj (snimio: A. Ćatović)

23708959323_86f4c2a7bf_k
Fraktali na Jahorini (snimio: A. Ćatović)

6Fraktali svuda oko nas na Dobrinji (snimio: A. Ćatović)

IMG_0529
Makro snimak šumske jagode (snimio: A. Ćatović)

IMG_0538
Fraktalna struktura drveća ide do nekoliko nivoa (snimio: A. Ćatović)

Literatura

  1. P. Ball: The Self-Made Tapestry, Pattern formation in nature, OXFORD UNIVERSITY PRESS, 1999.
  2. P. Ball: Nature’s Patterns, A Tapestry in Three Parts (Shapes, Flow, Branches, OXFORD UNIVERSITY PRESS, 2009.
  3. B. Mandelbrot: , The Fractal Geometry of Nature, Times Books, 1982.
  4. M. McGuire: An Eye For Fractals, 1991.
  5. Y. Baryshev P. Teerikorpi: Discovery of Cosmic Fractals, World Scientific Pub Co Inc; 1st edition (October 1, 2002).
  6. J. Briggs: Fractals: The Patterns of Chaos: Discovering a New Aesthetic of Art, Science, and Nature, Echo Point Books & Media; Reprint ed. edition (December 16, 2015).
  7. http://autsys.aalto.fi/pub/control.tkk.fi/vanhat/as-74.330-k03/komulainen.pdf
  8. https://phys.org/news/2019-01-hubble-deepest-images-deeper.html
  9. https://urbanshakedowns.wordpress.com/2010/12/04/the-fractal-patterns-of-nature/
  10. https://www.artfido.com/amazing-photographs-of-fractals-in-nature/
  11. http://classes.yale.edu/fractals
  12. http://www.fractalsciencekit.com/
  13. https://www.wired.com/2010/09/fractal-patterns-in-nature/
  14. http://www.math.yale.edu/mandelbrot
  15. http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
  16. http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal
  17. http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html
  18. http://e.math.hr/galerija/galerija_print.html
  19. https://anicatrickovic.weebly.com/zanimljivosti/fraktali
  20. https://nova-akropola.com/znanost-i-priroda/znanost/fraktali/
  21. http://www.seminarski-diplomski.co.rs/MATEMATIKA/Fraktali.html
  22. http://www.crtanje-fraktala.com/o-crtanju-fraktala/
  23. https://www.b92.net/zivot/nauka.php?yyyy=2008&mm=07&dd=28&nav_id=310439
  24. https://hr.wikipedia.org/wiki/Mandelbrotov_skup
  25. http://www.fractal-explorer.com/
  26. https://cosmosmagazine.com/mathematics/fractals-in-nature

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s